#author("2020-08-06T12:50:01+00:00","","") *応用数学系 [#e3f5ea3d] #contents -[[back>ikeue2019/study]] **問題&答え [#qce11870] -編集中 #br **デルタ関数 (δ関数) [#w054cd82] 以下の条件を満たす関数について考える。 -|x|≦ε/2のとき、dε(x) = 1/ε -|x|<ε/2のとき、dε(x) = 0~ この関数は偶関数であり、εの値によらず面積は常に1である (積分によって簡単に確かめられる)。 上記の関数について、ε→0とした極限は''デルタ関数(δ関数)''と呼ばれる。~ このデルタ関数は、全区間で定義された連続な関数f(x)について以下の式が成り立つ。 -∫[-∞, ∞]δ(t)f(t)dt = f(0) #br **ラプラス変換対応表 [#u7a2c711] | |f(t) (ラプラス変換前)| F(s) (ラプラス変換後)| |1.|t(n-1) | (n-1)! / s^n| |2.|e^(at) | 1/(s-a)| |3.|cos(at) | s/(s^2 + a^2)| |4.|sin(at) | a/(s^2 + a^2)| #br *微分積分学[#tdc2c957] **問題と答え [#a7451ee2] +関数y=log|sinx|を微分せよ。 --対数微分の公式より、~ y'=(sinx)'/sinx~ =''cotx'' +関数y=log{|(x-1)/(x+1)|/2}を微分せよ。 --y=(log|x-1|-log|x+1|)/2と表し、対数微分の公式から、~ y'={1/(x-1)-1/(x+1)}/2~ =''1/(x^2 - 1)'' +関数y=a^xを微分せよ。 --対数微分法により、両辺の対数をとって、logy=xloga~ 両辺をxに関して微分し整理すると、~ y'=yloga~ =''(a^x)loga'' +関数y=x^xを微分せよ。 --対数微分法により、両辺の対数をとって、logy=xlogx~ 両辺をxに関して微分し整理すると、~ y'=y(logx + 1)~ =''(x^x)(logx + 1)'' #br **テイラーの定理とマクローリンの定理 [#h7bf21cd] -関数f(x)は、閉区間[a, b]で(n-1)階導関数が連続で、開区間[a, b]でn回微分可能であるとき、~ f(a+h)= f(a) + f'(a)h + {f''(a)/2!}h^2 + …… + {f(n-1)(a)/(n-1)!}h^(n-1) + {f(n)(a+θh)/n!}h^n (h=b-a)~ を満たすθ(0<θ<1)が存在する。 (''テイラーの定理'') -この式において、a=0、h=xとおくと以下の式が得られ、この形の公式は''マクローリンの定理''とも呼ばれる。 --f(x) = f(0) + f'(0)x + {f''(0)/2!}x^2 + …… + {f(n-1)(0)/(n-1)!}x^(n-1) + {f(n)(θx)/n!}x^n -テイラーの定理及びマクローリンの定理の式に現れる末項を''誤差項''という。 #br ***応用[#dcfe8639] +f(x)=e^x --k次導関数はf(k)(x)=e^x~ f(0)=1、f(n)(0)=1であるから、マクローリンの定理により、以下の式を満たすθが存在する。~ f(x)=1 + x + (x^2)/2! + {x^(n-1)/(n-1!)} + …… + {e^(θx)/n!}x^n +f(x)=sinx --k次導関数はf(k)(x)=sin(x + kπ/2)~ マクローリンの定理より、以下の式を満たすθが存在する。 f(x)=x - (x~3)3! + …… + {(-1)^(n-1)/(2n-1)!}x^(2n-1) + (-1)^(n){x^(2n)/2n!}sinθx